Articoli 20/10/2007

ERM: il metodo del “Rispondente Cancellato” per i controlli su strada della guida sotto l’influenza di alcol o sostanze (e non solo)

foto blaco

Introduzione
Recentemente ho pubblicato un articolo scientifico su un nuovo metodo di indagine che permette di conoscere alcuni parametri di una popolazione statistica senza dover sapere quello che riguarda i singoli individui (rif. “Quantifying a phenomenon without knowledge of individual data: the Erased Respondent Method (ERM)”, Ann.Ig. 2007; 19: 193-202). Per fare un esempio concreto, col detto metodo possiamo valutare quanti stiano guidando sotto l’influenza di droghe senza che sia necessario conoscere chi stia guidando in tale stato. Come sarà immediato a molti addetti ai lavori, il fatto di non conoscere i risultati dei singoli può essere di grande facilitazione in tante situazioni, in particolare se i controlli sono condotti in maniera casuale, e non per fondato sospetto. Incautamente, nel corso di una recente intervista al Centauro, ho promesso al dott. Biserni di spiegare in modo semplice questo metodo. La cosa non è facile, in quanto il tutto ha una complessità intrinseca; tuttavia, siccome ogni promessa è un debito (specie quelle fatte al dott. Biserni… altrimenti sono guai!), mi accingo a mantenerla. Cosa verrà fuori… non ne ho idea: spero, comunque, sia qualcosa di chiaro. Se ci riesco, lodatemi; altrimenti, insultatemi pure (peraltro, recenti sentenze hanno arricchito le possibilità in questo senso).

Armiamoci di un mazzo di carte… e facciamo un esperimento “approssimato”
Lasciando per un momento da parte il problema dei controlli su strada, utilizziamo un modello più semplice per capire a fondo il metodo. Costruiamo a questo scopo uno speciale mazzo di 90 carte, 18 rosse e 72 nere (ad esempio, con quelle francesi). Il mazzo sarà la nostra “popolazione”. Le carte rosse indicheranno i soggetti positivi; quelle nere i soggetti negativi. Sicché, nel mazzo c’è una percentuale di carte rosse (soggetti positivi) pari a 18/90 = 0.20 → 20.0% di positivi. Si osservi che questo dato viene fuori subito perché conosciamo lo stato di ogni carta (se è rossa o se è nera). Contiamo quante sono le rosse (18), dividiamo questo numero per il totale delle carte (90), e la percentuale è bella e calcolata. Il problema che abbiamo davanti è stimare tale proporzione senza conoscere il colore delle singole carte. Ora, mescoliamo bene il mazzo e poi facciamo mucchietti di 3 carte. Avremo 30 mucchietti. Diremo che un mucchietto è “Pulito” se le carte sono tutte nere; diremo invece che è “Sporco” se qualche carta è rossa (una sola, o due o tutte e tre). Un risultato di questa operazione può essere quello di tab.1, assolutamente casuale, ottenuto per simulazione col computer. Ora… ragioniamo. In ogni mucchietto ci sono 3 carte. Poiché nel mazzo 8 carte su 10 sono nere (80%), la probabilità che la prima carta sia nera è 8 su 10, ovvero 0.80; ma anche la probabilità che la seconda sia nera è ancora 0.80; così pure la probabilità che la terza sia nera è 0.80. Quindi, la probabilità che le tre carte del mucchietto siano tutte nere è:0.803 = 0.80 . 0.80 . 0.80 = 0.512. Dunque, la probabilità che il mucchietto venga tutto nero (cioè “Pulito”) è data dalla probabilità che la carta sia nera (0.80) elevata al numero di carte del mucchietto, in questo caso 3. Questo è un risultato elementare del Calcolo delle Probabilità: se in una popolazione una certa caratteristica è presente con probabilità , la probabilità π che facendo n prove si presenti sempre quella caratteristica è pari a πn. Fine. Ricordiamoci questo risultato, e andiamo avanti. Supponiamo ora che i mucchietti di tre carte li abbia fatti un nostro amico (voi non li potete vedere), e che lui vi dica semplicemente che sono venuti fuori 16 mucchietti puliti e 14 sporchi (come risulterebbe se fossero quelli della tabella). Se fate caso (attenzione, questo è il punto cruciale!!!), il fatto che siano venuti fuori 16 mucchietti puliti su 30 mucchietti vi segnala sperimentalmente che la probabilità che un mucchietto risulti pulito è pari a 16/30 = 0.533. D’altra parte, voi già sapete che questa probabilità è pari al cubo della probabilità che una carta risulti nera elevata alla terza. Sicché, se calcolate la radice terza della frequenza empirica che avete osservato per i mucchietti puliti (16/30 = 0.533), il risultato vi deve fornire una stima della probabilità che una carta sia nera! Avremo, quindi:

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Questo valore è una stima della probabilità che una carta del mazzo sia nera (si ricordi che quella vera, che non conosciamo, è per costruzione pari a 0.80). Ora, poiché le carte sono o rosse o nere, se la probabilità che una carta sia nera è 0.811, allora la probabilità che la carta sia rossa non potrà che essere pari a (1-0.811) = 0.189, che tradotto in percentuale fa il 18.9%. La nostra valutazione della proporzione di carte rosse nel mazzo sarà quindi del 18.9% (contro il 20% che era il valore esatto). Facciamo ora un parallelo con un controllo su strada per la guida sotto l’influenza di cocaina. Adesso, le carte nere sono i conducenti che non hanno preso cocaina, quelle rosse sono coloro che l’hanno usata. Un “mucchietto” è un pool delle salive di tre conducenti. I conducenti che sono stati controllati sono 90, e quindi abbiamo 30 pools di salive (analoghi ai 30 mucchietti). Se in un pool c’è un conducente (o due o tutti e tre) che ha preso cocaina, il pool risulta “positivo” all’analisi (“Sporco”); se nessuno dei tre ha preso cocaina, risulta “negativo” (“Pulito”). I pool negativi sono 16… i conducenti sotto l’influenza di cocaina sono quindi stimabili intorno al 18.9%. Elementare, Watson.

Perché l’esperimento è “approssimato”
Ho dovuto sacrificare il rigore alla chiarezza. In effetti, se ho 90 carte, 18 rosse e 72 nere, se la prima carta viene nera, la probabilità che la seconda venga anch’essa nera non è del 20%, ma un poco meno: nel mazzo ci sono ora 89 carte, 18 rosse e 71 nere. Quindi, detta probabilità è pari a 71/89 = 0.798. E se anche la seconda carta viene nera, la probabilità che lo sia anche la terza è ancora minore (due carte nere sono già uscite!), ed è ovviamente pari a 70/88 = 0.795. E così di seguito: a mano a mano che escono carte nere e carte rosse le probabilità si modificano. Comunque, niente paura: se il mazzo ha tantissime carte, le probabilità non si modificano più di tanto, come nei fatti avviene se fermo qualche conducente, uno dei 34.000.000 di possessori di patente attiva. Quindi, l’esperimento, pur essendo “approssimato”, ha il suo valore didattico; e il modello ERM mostrato è certamente adeguato al fenomeno che si vuole trattare.

Conclusioni
In base a quanto mostrato possiamo dire che conoscendo il numero di mucchietti puliti siamo in grado di stimare la proporzione di carte rosse del mazzo, come pure in base al numero di pools negativi alla sostanza indagata, quanti conducenti della popolazione guidavano sotto l’influenza della sostanza. Se le carte del mucchietto sono 3, useremo la radice cubica della proporzione dei mucchietti puliti; se sono due, la radice quadrata; se sono quattro, la radice quarta; ecc. ecc. . Quali carte erano rosse? Chi dei conducenti era sotto l’influsso della sostanza? Con questo metodo non lo sapremo mai, né ci interessa in termini di conoscenza generale. L’ERM non si interessa dello stato dell’individuo, ma dello stato della “popolazione” Per la conoscenza specifica ci sono già i controlli individuali per fondato sospetto, che funzionano egregiamente per sapere “Chi”, controlli che a mio avviso andrebbero sostanzialmente potenziati. Non dimenticando, però, di utilizzare anche l’ERM per una visione globale delle cose.